Start Lehre Grundlagen der Elektrotechnik
Ortskurven Grundlagen Drucken
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Geschrieben von: Stefan   

Motivation

Eine Ortskurve stellt den Verlauf einer komplexen Größe, die von einem reellen Parameter abhängt, in der komplexen Ebene dar.

In der Elektrotechnik kann man zum Beispiel die Impedanz (den komplexen Widerstand) einer Schaltung in Abhängigkeit von der Frequenz darstellen.

Zeichnerisches Vorgehen

Beim Konstruieren der Impedanz-Ortskurve einer Schaltung geht man Schrittweise vor. Hierbei ist zu beachten, dass die Impedanzen in Reihe geschalteter Bauelemente addiert werden, sind die Bauelemente parallel geschaltet, so addiert man die Admittanzen (also die komplexen Leitwerte).

Während der Konstruktion der Ortskurve kommt es des öfteren vor, dass man das Bild von der Impedanz- in die Admittanzebene umwandeln muss. Hierfür wollen wir uns im Folgenden zunächst überlegen, was es in der komplexen Ebene bedeutet, wenn man den Kehrwert einer komplexen Zahl bildet.

Inversion eines Punktes

Im linken Teil der Abbildung oben betrachten wir die komplexe Zahl A. Sie kann durch ihren Betrag |A| und den Winkel PhiA beschrieben werden. Im rechten Teil ist der Kehrwert A-1 eingezeichnet. Beim Invertieren einer komplexen Zahl bildet man den Kehrwert des Betrags und invertiert den Winkel.

 


 

Inversion einer Geraden durch den Ursprung

Bei einer Ortskurve betrachtet man nicht nur einzelne Punkte, sondern den Verlauf eines komplexen Wertes. Bilden alle diese Werte eine Gerade durch den Ursprung, so ist die Inversion dieser Geraden (wir bilden den Kehrwert von jedem einzelnen Punkt der Geraden) wieder eine Gerade durch den Ursprung.

Beispielhaft sind auf den Geraden links die beiden Punkte P1 und P2 eingezeichnet, rechts die Punkte P1-1 und P2-1.

Merke:

Die Inversion einer Geraden durch den Ursprung ergibt eine Gerade durch den Ursprung.

 


 

Inversion einer allgemeinen Geraden

Eine allgemeine Gerade (die nicht durch den Ursprung geht) wird nach der Inversion zu einem Kreis.

Betrachtet man die Gerade im Bild oben links, so sieht man, dass der Winkel der Punkte den Bereich -90° bis +90° durchläuft. Der Betrag der Punkte ist minimal auf der Re-Achse und wird unendlich wenn wir der Geraden nach oben oder unten folgen. Der Kehrwert von Unendlich ist Null. Darum werden die "Enden" der Gerade in den Ursprung abgebildet.

Merke:

Die Inversion einer allgemeinen Gerade ergibt einen Kreis durch den Ursprung.

 


 

 

Inversion eines allgemeinen Kreises

Es sollte anschaulich klar sein, dass die Inversion eines Kreises druch den Ursprung eine allgemeine Gerade ergibt.

Wir betrachten nun einen allgemeinen Kreis.

Es ist in der Abbildung zu erkennen, dass alle Punkte des Kreises links in einem begrenzten Winkelbereich liegen. Bei der Inversion kehren alle Winkel ihr Vorzeichen um. In unserem Beispiel finden wir den Sektor also im 4. Quadranten wieder. Der invertierte Kreis muss in diesem Bereich liegen. Nimmt man nun den Kehrwert aller Punkte des linkes Kreises, so stellt man fest, dass die Inversion wieder einen Kreis ergibt. Bei der Konstruktion auf dem Papier genügt es nun, den Kehrwert eines Punktes des linken Kreises zu berechnen. Der rechte Kreis ist durch einen Punkt und den Winkelbereich eindeutig definiert.

Merke:

Die Inversion eines allgemeinen Kreises ergibt einen allgemeinen Kreis.