Start Lehre Grundlagen der Elektrotechnik
Kondensator laden Drucken
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Geschrieben von: Stefan   

Auf- und Entladevorgänge am Kondensator

Ein Kondensator besteht aus zwei voneinander isolierten Platten. Fließen Ladungen auf eine Kondensatorplatte, so wird eine Spannung zwischen ihnen aufgebaut.

Der Zusammenhang zwischen Kapazität C, Ladung Q und Spannung U ist durch Q = C U gegeben.

Am Kondensator gilt weiterhin

i_C(t) = C \frac{d u_C(t)}{dt}

u_C(t) = \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i_C(t^\prime) dt^\prime + u_C(t_0)

 


 

Beispiel 1

Gegeben ist folgende Schaltung:

Der Kondensator sei zunächst ungeladen (uC=0). Zum Zeitpunkt t=t0 wird der Schalter geschlossen. Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC(t).

Zunächst wenden wir den Maschensatz an:

u_R(t) + u_C(t) = U_0

am Widerstand gilt das Ohm'sche Gesetz u_R(t) = R i(t) und am Kondensator die oben stehende Bauelementgleichung i(t) = C \frac{d u_C(t)}{dt}.

Setzt man die drei Gleichungen (von unten nach oben) ineinander ein, so erhält man

RC\frac{d u_C(t)}{dt} + u_C(t) = U_0.

Diese Gleichung nennt man "lineare Differentialgleichung erster Ordnung", denn die enthält nicht nur die gesuchte Größe uC(t), sondern auch dessen Ableitung.

An dieser Stelle wollen wir nicht näher auf die Mathematik eingehen, sondern uns damit begnügen, dass eine Differentialgleichung der Form

\tau \frac{d x(t)}{dt} + x(t) = konstant folgende Lösung besitzt:

x(t) = k_1 + k_2 \exp{\left( -\frac{t-t_0}{\tau} \right)}.

Für unser Beispiel können wir direkt ablesen, dass \tau = RC. Die Konstanten k1 und k2 lassen sich über die sogenannten Randwerte bestimmen. Hierfür müssen wir uns überlegen, welche Spannung zu Beginn des Aufladevorgangs am Kondensator abfällt und auf welche Spannung er nach unenlich langer Zeit aufgeladen sein wird.

1. Wenn wir den Schalter schließen und unendlich lange warten, wird der Kondensator auf seine Maximalspannung aufgeladen sein und es fließt kein Strom mehr. Aus dem Maschensatz u_R(t) + u_C(t) = U_0 folgt also u_C(t) = U_0, denn wenn kein Strom durch den Wirderstand fließt, fällt an ihm auch keine Spannung ab (U=RI).

Es folgt also u_C(t\rightarrow \infty) = k_1 + k_2 \exp{\left( -\frac{\infty-t_0}{\tau} \right)} = k_1 = U_0.

2. Bevor wir den Schalter geschlossen haben, war der Kondensator laut Aufgabentext ungeladen. Da die Spannung am Kondensator stetig ist (also nicht springen kann) gilt

u_C(t_0) = k_1 + k_2 \exp{\left( -\frac{t_0-t_0}{\tau} \right)} = k_1 + k_2 = 0.

Daraus folgt also k2 = -k1.

Hiermit gilt für den Aufladevorgang u_C(t) = U_0 - U_0 \exp{\left( -\frac{t-t_0}{RC} \right)}.

 


 

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