Start Lehre Grundlagen der Elektrotechnik
Elektrisches Stömungsfeld Drucken
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Geschrieben von: Stefan   

Grundlagen

In elektrischen Netzwerken wird in der Regel von konzentrierten Bauelementen ausgegangen.
Dies bedeutet, dass man einen ohmschen Widerstand R darauf reduziert, dass durch ihn ein
Strom I fließt und eine Spannung U an ihm abfällt. Die drei Größen sind über das Ohmsche Gesetz miteinander verknüpft: R = U / I.
Hier soll nun betrachtet werden, wie sich der Strom über die Querschnittsäche eines Widerstandskörpers verteilt.

 

Gleichungen

Für die Aufgaben im Fach Grundlagen der Elektrotechnik benötigt man vier Gleichungen:

(1): I = \iint_A \vec{J} \cdot d\vec{A}

(2): \vec{J} = \kappa \vec{E}

(3): U = \int \vec{E} \cdot d\vec{s}

(4): R = U/I

Hierbei bezeichnet I den elektrischen Strom, J die elektrische Stromdichte (also den Strom pro infinitesimaler  Querschnittsfläche), E ist das elektrische Feld, U die elektrische Spannung und R der elektrische Widerstand.

In den ersten Semestern des Studiums werden Sie die Gleichungen (1) und (3) mathematisch noch überfordern. Aus diesem Grund ist man im Fach "Grundlagen der Elektrotechnik" gezwungen, sich bei Aufgabenstellungen auf simple Geometrien zu beschränken.

Strom und Stromdichte, Gleichung (1)

Die elektrische Stromdichte J ist ein Maß für den Strom dI , der durch eine infinitesimal kleine Fläche dA fließt
\vec{J} = \frac{dI}{dA}\vec{e}_I.

Gemäß Gl. (1) ist der Gesamtstrom I das Integral der Stromdichte J über eine Querschnittsfläche A des Leiters.
Die Rechnung vereinfacht sich sehr stark, wenn man eine Äquipotentialfläche als Integrationsfläche wählt. Dies ist eine Fläche, auf der alle Feldlinien von J senkrecht stehen:

Dadurch dass nun die Feldlinien der Stromdichte J und die Flächennormalenvektoren dA parallel zueinander stehen, vereinfacht sich Gl. (1), denn das Skalarprodukt von parallelen Vektoren ergibt das Produkt ihrer Beträge:

I = \iint_A J \cdot dA

 

Sonderfall 1: Für den Fall, dass J auf der gesamten Fläche konstant ist (wenn die Leitfähigkeit \kappa auf der Fläche konstant ist), lässt sich J vor das Integral ziehen und die Gleich und vereinfacht sich weiter zu

I = J \iint_A dA,

I = J \cdot A.

 

Merke: Für den Fall, dass die Leitfähigkeit \kappa auf einer Äquipotentialäche A konstant ist, lässt sich die Stromdichte J einfach berechnen: J = \frac{I}{A}.

 

Elektrisches Feld und elektrische Stromdichte, Gleichung (2)

Die elektrische Feldstärke E ist ein Maß für die Kraft, mit der an Ladungsträgern gezogen wird.
Sie ist gemäß Gl. (2) über die elektrische Leitfähigkeit \kappa mit der Stromdichte J verknüpft. Die Bedeutung ist sehr anschaulich: Wird mit konstanter Kraft an den Ladungsträgern gezogen, so wird bei einer größeren Leitfähigkeit \kappa der Stromfluss größer sein.

 

Elektrische Spannung und elektrisches Feld, Gl. (3)

Die elektrische Spannung U zwischen zwei Punkten erhält man, wenn man die elektrische Feldstärke E entlang eines Weges zwischen beiden Punkten integriert. Wählt man als Weg den Verlauf einer Feldlinie, so vereinfacht sich Gl. (3), denn wieder wird aus dem verktoriellen Skalarprodukt das Produkt zweier Skalare.

U = \int E \cdot ds.

Für den Fall, dass die elektrische Feldtärke E entlang des Weges konstant ist (Feldlinien verlaufen parallel und nicht gekrümmt, \kappa ist konstant entlang einer Feldlinie), lässt sich E vor das Integral ziehen und man erhält

U = E \int \cdot ds,

U = E \cdot d.

Hierbei ist d die Länge des Integrationswegs.


Merke: Für den Fall, dass die Leitfähigkeit \kappa  entlang einer E-Feldlinie konstant ist und alle E-Feldlinien parallel und gerade verlaufen, lässt sich E direkt berechnen: E = \frac{U}{d}

 

 

Elektrischer Widerstand, Gleichung (4)

Hat man mit Hilfe der Gleichungen (1)(3) den Strom I und die Spannung U bestimmt, lässt sich über das Ohmsche Gesetz, Gl. (4) der elektrische  Widerstand der Anordnung berechnen.