Start Lehre Grundlagen der Elektrotechnik
Knotenpotentialverfahren Drucken
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Geschrieben von: Stefan   

Anwendung

Mit dem Knotenpotentialverfahren lassen sich Spannungen in einer Schaltung berechnen. Und zwar die Spannungen zwischen den Knoten der Schaltung zu einem Bezugsknoten. Dieser Bezugsknoten wird "Knoten Null" genannt und ihm wird auch das elektrische Potential Null zugeordnet. Die Spannungen zwischen den anderen Knoten und dem Bezugsknoten entsprechen somit ihren Knotenpotentialen.

"Kochrezept"

  1. Alle Spannungsquellen in equivalente Stomquellen umwandeln, Widerstände als Leitwert ausdrücken.
  2. Knoten nummerieren. Der Bezugsknoten ist Knoten 0.
  3. Leitwertmatrix aufstellen.
    1. Hauptdiagonale: Yxx = Summe der Leitwerte, die mit Knoten x verbunden sind.
    2. Nebendiagonale: Yxy = negativer Leitwert zwischen Knoten x und y. Sind Knoten x und y nicht direkt miteinander verbunden, 0 in die Matrix eintragen.
  4. Rechte Seite: Ix = Quellenströme, die in Knoten x hinein- oder herausfließen. Vorzeichen: positiv, wenn der Strom in den Knoten fließt, negativ wenn er hinausfließt.
  5. Gleichungssystem lösen. Als Ergebnis erhält man alle Spannungen zwischen dem Knoten 0 und den anderen.

 


 

Beispiel

Gegeben ist folgende Schaltung:

Um das Knotenpotentialverfahren anwenden zu können, muss zunächst die reale Spannungsquelle (bestehend aus U0 und R0) in eine äquivalente Stromquelle umgewandelt werden (siehe Quellenumformung).

Nun wird ein Bezugsknoten gewählt, der die Nummer "0" erhält, die anderen Knoten werden von "1" bis ... durchnummeriert.

Die Quellenumformung ergibt I_0 = \frac{U_0}{R_0}.

Für die Leitwerte gilt G_i = \frac{1}{R_i}.

 

Nun wird das Gleichungssystem aufgestellt.

\left( \begin{array}{ccc} G_{11} & G_{12} & G_{13} \\ G_{21} & G_{22} & G_{23} \\ G_{31} & G_{32} & G_{33} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} U_{10} \\ U_{20} \\ U_{30} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array} \right)

 

Auf der Hauptdiagonalen der Leitwertmatrix wird für Gii die Summe der an den Knoten i angeschlossenen Leitwerte eingetragen. Für die Gij der Nebenelemente wird der Leitwert eingesetzt, der in der Schaltung zwischen den Knoten i und j verbaut ist. Für unser Beispiel ergibt sich

\left( \begin{array}{ccc} G_0+G_2 & -G_2 & 0 \\  -G_2 & G_2+G_3+G_4 & -G_3 \\ 0 & -G_3 & G_1+G_3 \\  \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} U_{10} \\ U_{20} \\ U_{30}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} . \\ . \\ .  \end{array} \right)

 

Für die Ströme Ii wird der Quellenstrom eingesetzt, der in Knoten i hinein oder heraus fließt. Für unser Beispiel ergibt sich

\left( \begin{array}{ccc} G_0+G_2 & -G_2 & 0 \\  -G_2 &  G_2+G_3+G_4 & -G_3 \\ 0 & -G_3 & G_1+G_3 \\  \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c} U_{10} \\ U_{20} \\ U_{30}  \end{array}  \right) = \left( \begin{array}{c} I_{0} \\ 0 \\ I_{1}  \end{array}  \right)

 

Dieses Gleichungssystem lässt sich nun mit einem beliebigen Verfahren (zB Gaußelimination) lösen und wir erhalten die Spannungen, die zwischen den Knoten 1, 2, 3 und Knoten 0 abfällt.

 

 

 


 

Ideale Spannungsquellen

Sind ideale Spannungsquellen in der Schaltung vorhanden, so muss man einen kleinen Trick anwenden. Ideale Spannungsquellen lassen sich nicht in Stromquellen umwandeln. Das Ziel unserer Schaltungsanalyse ist das Berechnen der  Potentiale, also die Spannungsdifferenzen innerhalb der Schaltung.

Wir müssen die Schaltung nun so modifizieren, dass wie reale Spannungsquellen erhalten (die sich dann in reale Stromquellen umwandeln lassen), hierbei dürfen die Knotenpotentiale aber nicht beeinflusst werden. Dies kann erreicht werden, indem die ideale Spannungsquelle "durch einen Knoten geschoben wird".

 

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Nun besitzt die Schaltung keine ideale Spannungsquelle mehr, sondern zwei Reelle (U mit R1 und U mit R3). Das Knotenpotentialverfahren kann angewendet werden.

 

FAQ: Warum sind die beiden Schaltungen äquivalent?

Es hat sich nichts an den Potentialen geändert. In der Originalschaltung sind die Punkte unterhalb von R1 und oberhalb von R3 auf dem selben Potential, gleiches gilt für die Punkte unterhalb von R2 und oberhalb von R4.

Von dem Punkt unterhalb von R1 zum Punkt unterhalb von R2 beträgt die Spannungsdifferenz U, gleiches gilt für den Weg vom Punkt oberhalb von R3 zum Punkt oberhalb von R4.

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Zu beachten ist, dass der Knoten 3 weggefallen ist. Das Knotenpotential U30 lässt sich jedoch leicht berechnen: U30=U40 + U.